Équation du troisième degré - Corrigé

Énoncé

Au 16^e  siècle, les mathématiciens italiens Niccolo Fontana (dit Tartaglia ) et Jérôme Cardan ont élaboré une méthode pour résoudre les équations du troisième degré de la forme 
$x^3+px+q=0$ avec $p\in \mathbb{R}$ et $q\in \mathbb{R}$ .

En particulier, ces équations possèdent au moins une solution réelle  $x_0$ donnée par la formule :
$x_0=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}}$  (formule de Cardan).

1. À l'aide de la formule de $x_0$ , retrouver une solution de l'équation $x^3-3x+2=0$ .

2. Montrer que pour l'équation $x^3-15x-4=0$ , la formule de $x_0$ donne : $x_0=\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}$ .  
Cette formule fait apparaître la racine carré du nombre $-121$ , qui est strictement négatif.

Afin de tenter de rendre générale la formule de Cardan, le mathématicien Raphaël Bombelli a introduit un nombre, noté ensuite $i$ , et vérifiant $i^2=-1$ . L'idée est ensuite d'utiliser les mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$ . Ainsi,  $-121$ est donc le carré de $11i$ , car   $(11i{)}^2={11}^2\times i^2=121\times (-1)=-121$ .

3. Montrer alors que : $(2+i{)}^3=2+11i$  et $(2-i{)}^3=2-11i$ .

4. Quelle est alors la solution réelle donnée par la formule de Cardan ?

Solution

1. L'équation $x^3-3x+2=0$  est de la forme $x^3+px+q=0$   avec $p=-3$ et $q=2$ .

La formule de Cardan donne une solution :
$x_0=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{2}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{2^2}{4}}+{\displaystyle \frac{(-3{)}^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{2}{2}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{2^2}{4}}+{\displaystyle \frac{(-3{)}^3}{27}}}}$ ,
donc $x_0=\sqrt[3]{-1-\sqrt{1-1}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{1-1}}=\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1}=-1+(-1)=-2$

2. L'équation $x^3-15x-4=0$  est de la forme $x^3+px+q=0$  
avec $p=-15$ et $q=-4$ .
La formule de Cardan donne une solution :
$x_0=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{-4}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{(-4{)}^2}{4}}+{\displaystyle \frac{(-15{)}^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{-4}{2}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{(-4{)}^2}{4}}+{\displaystyle \frac{(-15{)}^3}{27}}}}$ ,
donc $x_0=\sqrt[3]{2-\sqrt{4-125}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{4-125}}$ ,
et finalement,  $x_0=\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}$  .

3. On a $(2+i{)}^3=(2+i{)}^2\times (2+i)=(4+4i+i^2)(2+i)=(4+4i-1)(2+i)=(3+4i)(2+i)$
donc $(2+i{)}^3=3\times 2+3i+4i\times 2+4i\times i=6+3i+8i-4=2+11i$ .
De même,   $(2-i{)}^3=(3-4i)(2-i)=3\times 2-3i-4i\times 2+4i\times i=6-3i-8i-4=2-11i$ .

4.  On a donc
$x_0=\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+11\sqrt{-121}}=2-11i+2+11i=4$ .